Seminár detašovaného pracoviska Matematického ústavu SAV v Košiciach

··· 2019 • 2020-21 • 2022 • 2023 • 2024

19. 1. 2023	Jan Makovský (Filosofický ústav Akademie věd České republiky) – Leibnizova cesta k nekonečně malému
	Abstrakt: Co mají společného světový vír a duše, srážky těles, éter, atomy a nekonečno? Zápas o samostatnost geometricky budované přírody odehrávající se uvnitř pojmu pohybu: v propasti "vědy o bodu", mezi dělitelným a nedělitelným, veličinou a její hranicí.
26. 1. 2023	Peter Eliaš – Funktory, monády, adjunkcie
	Abstrakt: Urobíme rýchly prehľad základných pojmov teórie kategórií: funktor, prirodzená transformácia, monáda, adjunkcia. Pojmy ilustrujeme na výsledkoch práce [Jenča, G. Orthomodular posets are algebras over bounded posets with involution. Soft Comput 26, 491–498 (2022)] a naznačíme možnosti riešenia tam formulovaného problému.
9. 2. 2023	Ján Haluška – Matematický model organového zvuku generovaného súborom píšťal konštantnej menzúry
	Abstrakt: Nasledovné tri psychologické fenomény, na ktorých je založený súčasný 12-tónový rovnomerne temperovaný systém (12-TET), sú podstatné aj ohľadom píšťalových registrov. Sú to: Pytagorejská koma, oktávová ekvivalencia a rovnaká hudobná farba (timbre) všetkých tónov. Podstatnou skutočnosťou je zistenie, že hudobné štruktúry kvintový kruh a transpozícia sa dajú použiť na definíciu algebraických operácií "násobenia" $\otimes$ a "sčítania" $\oplus$ tónov v 12-TET $\mathbb{T}_{12}$. Na základe toho skonštruujeme zovšeobecnený 12-TET (G12-TET) ako usporiadanú temperovanú Hilbertovu vektorovú algebru $\mathscr{W}_{12}$ nad $\mathbb{R}$, ktorej podmnožinou je klasický 12-TET. Môžeme zosumarizovať, že: Organový zvuk v G12-TET systéme $\mathscr{W}_{12}$, ktorý je tvorený množinou registrov píšťal konštantnej menzúry, je lineárna varieta nad $\mathbb{R}$ asociovaná so zvukom Principálového registra.
23. 2. 2023	Emília Halušková – Algebry s jednoduchými direktnými limitami a množiny $\mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}$
	Abstrakt: V univerzálnej algebre je konštrukcia direktnej limity jednou zo základných metód na budovanie nových algebier z daných algebier fixného typu. Nech $A$ je algebra. Zameriame na vyšetrovanie direktných limít súborov algebier, v ktorých sú všetky algebry izomorfné s $A$. Ak každá každá takáto direktná limita je izomorfná s nejakým retraktom algebry $A$, tak hovoríme, že algebra $A$ má jednoduché direktné limity, skrátene $A$ má EDL. Uvažujme bežne zaužívané operácie sčítania a násobenia reálnych čísel. Potom aditívna grupa racionálnych čísel a okruhy celých, racionálnych aj reálnych čísel majú EDL. Multiplikatívna grupa racionálnych čísel, aditívna grupa a multiplikatívny monoid celých čísel nemajú EDL. Otázky, či aditívna a multiplikatívna grupa reálnych čísel, aditívna, multiplikatívna grupa a pole komlexných čísel majú EDL, sú otvorené.
16. 3. 2023	Michal Hospodár – Operácie na podtriedach regulárnych jazykov (pokračovanie)
	Abstrakt: Študujeme nedeterministickú stavovú zložitosť základných regulárnych operácií na podtriedach regulárnych jazykov. Zameriavame sa najmä na triedy jednoslovných, konečných a symetricky definitných jazykov a uvažujeme o operáciách prieniku, zjednotenia, zreťazenia, mocniny a doplnku. Vo všetkých prípadoch dostaneme presnú zložitosť, s výnimkou doplnku jednoslovných jazykov, kde máme iba dolnú hranicu $\sqrt{n}$ a hornú hranicu $n$. Zložitosť prieniku na jednoslovných jazykoch je $\min\{m,n\}$ a pre všetky ostatné operácie, okrem doplnku, sú známe horné hranice pre konečné jazyky dosiahnuté jednoslovnými jazykmi. Ukážeme, že známa dolná hranica $2^{n-1}$ pre doplnok na ľavých ideáloch je tesná aj pre symetricky definitné jazyky. Vo všetkých zostávajúcich prípadoch je nedeterministická stavová zložitosť všetkých uvažovaných operácií rovnaká ako v regulárnom prípade, aj keď niekedy potrebujeme použiť väčšiu abecedu na opis zodpovedajúcich dosvedčujúcich jazykov.
30. 3. 2023	Galina Jirásková – Nerozhodnuteľné problémy pre deterministické biautomaty
	Abstrakt: Zavádzame pojem deterministického biautomatu a jeho tri podmodely. Týmto štyrom modelom zodpovedajú štyri modely gramatík, ktoré sú známe z literatúry, a im zodpovedajúce triedy jazykov tvoria reťaz vlastných podtried. Ukazujeme, že je nerozhodnuteľné, či jazyk akceptovaný nedeterministickým biautomatom patrí do triedy zodpovedajúcej danému modelu deterministického biautomatu. Pri dôkaze využívame Greibachovej vetu a uzáverové vlastnosti uvažovaných tried.
13. 4. 2023	Viktor Olejár – Uzáverové vlastnosti podtried regulárnych jazykov pod operáciami
	Abstrakt: Trieda jazykov je uzavretá pod danou operáciou, ak výsledný jazyk patrí do tejto triedy vždy, keď do nej patria operandy. Skúmame uzáverové vlastnosti rôznych podtried regulárnych jazykov pri základných operáciách prieniku, zjednotenia, zreťazenia a mocniny, pozitívneho uzáveru a hviezdy, zrkadlového obrazu a doplnku. Uvažujeme o nasledujúcich triedach: definitné jazyky a ich varianty (ľavé ideály, konečne generované ľavé ideály, symetricky definitné, zovšeobecnene definitné a kombinačné), obojstranné kométy a ich varianty kométy a hviezdy a triedy singletonových, konečných, usporiadaných, bezhviezdičkových a mocniny separujúcich jazykov. Poskytujeme tiež prehľad o podtriedach konvexných jazykov (triedy ideálnych, predpony a prípony neobsahujúcich a uzavretých jazykov), nezjednocujúcich jazykov a grupových jazykov. Zhrnieme niektoré inklúzne vzťahy medzi týmito triedami. Následne pre všetky dvojice triedy a operácie uvádzame odpoveď, či je táto trieda pod touto operáciou uzavretá alebo nie.
11. 5. 2023	Jozef Pócs – Sugenov integrál na ohraničených zväzoch
	Abstrakt: Diskrétny Sugenov integrál na ohraničenom distributívnom zväze L je možné charakterizovať ako jednoznačne určenú kompatibilnú agregačnú funkciu, ktorá rozširuje danú L-hodnotovú kapacitu. Ukážeme, že vlastnosť jednoznačného rozšírenia L-hodnotovej kapacity na kompatibilnú funkciu je ekvivalentná s distributivitou zväzu L. Tento výsledok dáva novú charakterizáciu ohraničených distributívnych zväzov.
25. 5. 2023	Irena Jadlovská – Porovnávacie vety v oscilačnej teórii
	Abstrakt: V prednáške pripomenieme oscilačné porovnávacie vety Kondrateva a Chanturiju pre diferenciálne rovnice vyššieho rádu, ktoré zovšeobecňujú slávnu Sturmovu oddeľovaciu a porovnáciu vetu. Rozoberieme možné rozšírenia pre diferenciálne rovnice s oneskorením a formulujeme súvisiace otvorené problémy.
28. 9. 2023	Miroslav Repický – Čiastočné usporiadania ideálov
	Abstrakt: Pre ideály $I$ na množine prirodzených čísel $\omega$ označme $\mathfrak{b}_I= \min\{\|B\|:B\subseteq{}^\omega\omega\text{ and } (\forall f\in{}^\omega\omega)(\exists g\in B)\ \{n:g(n)\not\le f(n)\}\notin I\},$ $\mathfrak{d}_I= \min\{\|D\|:D\subseteq{}^\omega\omega\text{ and } (\forall f\in{}^\omega\omega)(\exists g\in D)\ \{n:f(n)\not\le g(n)\}\in I\}$ (tzv. „bounding number“ a „dominating number“). Označme $F(\mathrm{Fin})=\{r\in{}^\omega\omega:\forall n$ $\|r^{-1}[\{n\}]\|<\omega\}$ (množina všetkých „finite-to-one“ funkcií). Rudinovej-Blassove a Katětovo-Blassove čiastočné (kvázi) usporiadania ideálov $I$ a $J$ sú definované formulami $I\le_\mathrm{RB} J\equiv(\exists r\in F(\mathrm{Fin}))\ I=\{a\subseteq\omega:r^{-1}[a]\in J\}$, $I\le_\mathrm{KB} J\equiv(\exists r\in F(\mathrm{Fin}))\ I\subseteq \{a\subseteq\omega:r^{-1}[a]\in J\}$, $I\le_\overline{\mathrm{KB}} J\equiv(\exists r\in F(\mathrm{Fin}))\ \{a\subseteq\omega:r^{-1}[a]\in I\}\subseteq J$ ($\le_\overline{\mathrm{KB}}$ je modifikáciou $\le_\mathrm{KB}$, ktorá dosiaľ nebola skúmaná). Uvažujeme nasledujúce zovšeobecnenia týchto čiastočných usporiadaní: $I\le_\mathrm{RB}^\sqcup J\equiv (\exists E\in[F(\mathrm{Fin})]^{<\omega})\ I=\{a\subseteq\omega:\bigcup_{r\in E}r^{-1}[a]\in J\}$, $I\le_\mathrm{RB}^\sqcap J\equiv (\exists E\in[F(\mathrm{Fin})]^{<\omega})\ I=\{a\subseteq\omega:\bigcap_{r\in E}r^{-1}[a]\in J\}$, $I\le_\mathrm{KB}^\sqcup J\equiv (\exists E\in[F(\mathrm{Fin})]^{<\omega})\ I\subseteq\{a\subseteq\omega:\bigcup_{r\in E}r^{-1}[a]\in J\}$, $I\le_\mathrm{KB}^\sqcap J\equiv (\exists E\in[F(\mathrm{Fin})]^{<\omega})\ I\subseteq\{a\subseteq\omega:\bigcap_{r\in E}r^{-1}[a]\in J\}$, $I\le_\overline{\mathrm{KB}}^\sqcup J\equiv (\exists E\in[F(\mathrm{Fin})]^{<\omega})\ \{a\subseteq\omega:\bigcup_{r\in E}r^{-1}[a]\in I\}\subseteq J$, $I\le_\overline{\mathrm{KB}}^\sqcap J\equiv (\exists E\in[F(\mathrm{Fin})]^{<\omega})\ \{a\subseteq\omega:\bigcap_{r\in E}r^{-1}[a]\in I\}\subseteq J$. Zámenou „finite-to-finite“ funkcií „finite-to-finite“ reláciami dostaneme ďalších deväť definícií čiastočných usporiadaní v označení odlíšených príponou -$\mathrm{r}$. Dokážeme niekoľko inklúzií a rovností medzi týmito čiastočnými usporiadaniami a ukážeme, že tento súbor relácií má vzhľadom na inklúziu tieto dva maximálne prvky: ${\le_{\overline{\mathrm{KB}}\textrm{-}\mathrm{r}}}={\le_{\overline{\mathrm{KB}}\textrm{-}\mathrm{r}}^\sqcap}={\le_{\overline{\mathrm{KB}}\textrm{-}\mathrm{r}}^\sqcup}$ a ${\le_\mathrm{KB}^\sqcap}={\le_{\mathrm{KB}\textrm{-}\mathrm{r}}^\sqcap}$. Dokážeme, že invariant $\mathfrak{b}_I$ je ${\le_{\mathrm{KB}\textrm{-}\mathrm{r}}^\sqcap}$- a ${\le_{\overline{\mathrm{KB}}\textrm{-}\mathrm{r}}^\sqcup}$-rastúci a invariant $\mathfrak{d}_I$ je ${\le_{\mathrm{KB}\textrm{-}\mathrm{r}}^\sqcap}$- a ${\le_{\overline{\mathrm{KB}}\textrm{-}\mathrm{r}}^\sqcup}$-klesajúci.
12. 10. 2023	Peter Eliaš – Konštrukcia voľného ortomodulárneho posetu nad daným ortoposetom
	Abstrakt: Popíšeme funktor, ktorý je ľavým adjunktom k forgetful funktoru z kategórie ortomodulárnych posetov do kategórie ohraničených posetov s involúciou. Tento funktor je kompozíciou dvoch funktorov: prvý zobrazuje kategóriu ohraničených posetov do kategórie ortoposetov, druhý zobrazuje kategóriu ortoposetov do kategórie ortomodulárnych posetov. Zatiaľ čo prvý funktor je idempotentný a zodpovedá stotožneniu niektorých prvkov ohraničeného posetu s jeho najväčším, resp. najmenším prvkom, druhý funktor zodpovedá konštrukcii voľného ortomodulárneho posetu nad daným ortoposetom. Prvky ortomodulárneho posetu sú definované ako triedy ekvivalencie na množine všetkých dobre vytvorených termov nad daným ortoposetom.
26. 10. 2023	Ján Haluška – Mathematical structures of the generalized 12-TET
	Abstract: From a scientific point of view, tones in music are the material, live, psychological objects of great complexity. Therefore, all musical concepts expressed mathematically are approximate and applied with respect to a pre-specified accuracy which indicates many pre-determined compromise corridors: psycho-acoustical, mathematical, physical, material, spiritual, art-historian, natural-scientific, etc. Concerning all tuned European instruments, there are three basic psychological phenomena, factors when creating tone systems. In the present time, the prevailing tone system is 12-tone equally tempered tone system (shortly: 12-TET). His fundamental principles are: Pythagorean Comma approximation; Octave Equivalence; Suitable Tuning triangle for pipe organs. In this paper there is shown which structures arise when the 12-TET based arithmetic operations $\oplus$, $\otimes$ are introduced on the space of tone Fourier decomposition sequences and the dynamic keyboard is used. In detail, the following mutually compatible structures are naturally derived from the generalized 12-TET: Cyclic and linear orders $\lll$, $\ll$; Ring operation multiplication $\otimes$ and addition $\oplus$; Vector operations; Scalar product structures; Subalgebras; Invertible elements (if they exist); Hilbert space structure; Affine structures.
23. 11. 2023	Emília Halušková – O zobrazení „Bernoulliho posun“
	Abstrakt: Bernoulliho posun je zobrazenie, ktoré je paradigmatické v teórii dynamických systémov. Pozrieme sa na jeho vlastnosti cez štruktúru monounárnej algebry, ktorá mu prislúcha. Jedná sa o spoločnú prácu s R. Schwartzovou.