Seminár detašovaného pracoviska Matematického ústavu SAV v Košiciach

2018 <<  2019 <<  2020-21 <<  2022
najbližšie: dátum a meno prednášajúceho budú oznámené
 
predchádzajúce:
12. 5. 2022 Ján Haluška – Súbor 6 usporiadaných vektorových algebier, epimorfných na 6 zovšeobecnených komplexných čísel, je zovšeobecnením 12-tónového systému ladenia rovnakého temperamentu
Abstrakt: A $12$-dimensional linearly ordered vector algebra $\mathscr{W}_{12}$ over $\mathbb{R}$ is inspired with 12-Tone Equal Temperament Tuning system (12-TET) which is generally known in mathematical acoustics. In the paper introduced definition of multiplication $\otimes$ is based on a chain of 85 vectors of the Pythagorean approximation cycle and the notion of octave equivalence. From the operation $\otimes$, it is derived an operation $\oplus$ (operation of transposition, shift of vectors). The operation $\otimes$ is associative, commutative and distributive with respect to $\oplus$. In the paper, there are considered first 6 sub-algebras of $\mathscr{W}_{12}$; $\mathscr{W}_{1} \subset \mathscr{W}_{2} \subset \mathscr{W}_{3} \subset \mathscr{W}_{6} \subset \mathscr{W}_{12}$, $\mathscr{W}_{2} \subset \mathscr{W}_{4} \subset \mathscr{W}_{12}$. We can compute all possible invertible vectors (if they exist) in all ordered sub-algebras of $\mathscr{W}_{12}$. We describe only some interconnections among various substructures of $\mathscr{W}_{12}$, neither its numerous non-mathematical applications. According to results of the paper, we can claim that each tonal European musical composition is algebraically isomorphic with a sequence of lineals (=chords) of vectors (=tones) in $\mathscr{W}_{12}$ in time.
26. 5. 2022 Peter Eliaš – O tenzorovom súčine
Abstrakt: Porovnáme konštrukcie tenzorového súčinu v kategórii vektorových priestorov, kde morfizmy sú lineárne zobrazenia, a v kategórii úplných zväzov, kde morfizmy sú zobrazenia zachovávajúce supremá. Tenzorový súčin vektorových priestorov $V$, $W$ je vektorový priestor $T=V\otimes W$ spolu so zobrazením $\otimes\colon V\times W\to T$, ktoré má univerzálnu vlastnosť vzhľadom ku všetkým bilineárnym zobrazeniam z kartézskeho súčinu $V\times W$ do ľubovoľného vektorového priestoru $U$. Tenzorový súčin úplných zväzov $K$, $L$ (v kategórii kde morfizmy sú zobrazenia zachovávajúce supremá) je zväz $G$ všetkých Galoisových konexií medzi $K$, $L$, spolu s vhodným zobrazením $\varphi\colon K\times L\to G$. Toto zobrazenie má univerzálnu vlastnosť vzhľadom ku všetkým zobrazeniam definovaným na zväze $K\times L$, ktoré zachovávajú supremá separátne v každej premennej.
9. 6. 2022 Michal Hospodár – Operácie na podtriedach regulárnych jazykov a nedeterministická stavová zložitosť
Abstrakt: Študujeme nedeterministickú stavovú zložitosť základných regulárnych operácií na subregulárnych jazykových triedach. Zameriavame sa najmä na triedy kombinačných jazykov, konečne generovaných ľavých ideálov, grupových, hviezdových, kométových, obojstranne kométových, usporiadaných a mocniny separujúcich jazykov a uvažujeme o operáciách prieniku, zjednotenia, zreťazenia, mocniny, Kleeneho hviezdy, zrkladlového obrazu a doplnku. Vo všetkých prípadoch dostaneme presnú zložitosť, s výnimkou doplnku grupových jazykov, kde máme iba exponenciálnu dolnú hranicu. Zložitosť všetkých operácií na kombinačných jazykoch je daná konštantnou funkciou, okrem $k$-tej mocniny, kde je $k+1$. Pre všetky uvažované operácie sú známe horné hranice pre ľavé ideály dosiahnuté konečne generovanými ľavo ideálnymi jazykmi. Nedeterministická stavová zložitosť $k$-tej mocniny, hviezdy a zrkladového obrazu na hviezdových jazykoch je $n$. Vo všetkých zostávajúcich prípadoch je nedeterministická stavová zložitosť všetkých uvažovaných operácií rovnaká ako v regulárnom prípade, aj keď niekedy potrebujeme použiť väčšiu abecedu na opis zodpovedajúcich dosvedčujúcich jazykov.
23. 6. 2022 Emília Halušková – O diskrétnych vlastnostiach niektorých reálnych funkcií
Abstrakt: Monounárne algebry sú najjednoduchšie algebraické štruktúry. Sú definované ako dvojica $(A,f)$, kde $A$ je neprázdna množina a $f$ je zobrazenie z $A$ do $A$. Reprezentujú sa orientovanými grafmi, v ktorých z každého vrcholu vychádza práve jedna hrana. Majú interdisciplinárnu povahu. Budeme to ilustrovať na Sharkovského vete (1964) z teórie dynamických systémov a Łojasiewiczovej vete (1951) z funkcionálnych rovníc.
Ďalej uvedieme klasifikáciu monounárnych algebier definovaných na intervale reálnych čísel so spojitou rýdzomonotónnou funkciou podľa rozkladov na komponenty súvislosti, presnejšie povedané podľa typov navzájom neizomorfných komponentov súvislosti, ktoré sa v týchto algebrách vyskytujú. Monounárne algebry definované na intervale reálnych čísel so spojitou rýdzomonotónnou funkciou obsahujú nanajvýš 4 navzájom neizomorfné komponenty. Ak interval je uzavretý a ohraničený, tak je možných 8 kombinácií týchto komponentov. Pre ostatné intervaly prichádza do úvahy 10 kombinácií. V kritériách hrá úlohu bijektívnosť funkcie, množina pevných bodov funkcie alebo jej druhej iterácie a ohraničenosť funkcie na maximálnej podmnožine definičného oboru, ktorá neobsahuje pevné body funkcie.