Matematický ústav Slovenskej akadémie vied, detašované pracovisko v Košiciach  EN
O nás
Aktivity
Výskum
Vzdelávanie

Seminár detašovaného pracoviska Matematického ústavu SAV v Košiciach

2018 <<   2019 <<   2020-21 <<   2022   >> 2023
 
12. 5. 2022 Ján Haluška – Súbor 6 usporiadaných vektorových algebier, epimorfných na 6 zovšeobecnených komplexných čísel, je zovšeobecnením 12-tónového systému ladenia rovnakého temperamentu
Abstrakt: A $12$-dimensional linearly ordered vector algebra $\mathscr{W}_{12}$ over $\mathbb{R}$ is inspired with 12-Tone Equal Temperament Tuning system (12-TET) which is generally known in mathematical acoustics. In the paper introduced definition of multiplication $\otimes$ is based on a chain of 85 vectors of the Pythagorean approximation cycle and the notion of octave equivalence. From the operation $\otimes$, it is derived an operation $\oplus$ (operation of transposition, shift of vectors). The operation $\otimes$ is associative, commutative and distributive with respect to $\oplus$. In the paper, there are considered first 6 sub-algebras of $\mathscr{W}_{12}$; $\mathscr{W}_{1} \subset \mathscr{W}_{2} \subset \mathscr{W}_{3} \subset \mathscr{W}_{6} \subset \mathscr{W}_{12}$, $\mathscr{W}_{2} \subset \mathscr{W}_{4} \subset \mathscr{W}_{12}$. We can compute all possible invertible vectors (if they exist) in all ordered sub-algebras of $\mathscr{W}_{12}$. We describe only some interconnections among various substructures of $\mathscr{W}_{12}$, neither its numerous non-mathematical applications. According to results of the paper, we can claim that each tonal European musical composition is algebraically isomorphic with a sequence of lineals (=chords) of vectors (=tones) in $\mathscr{W}_{12}$ in time.
26. 5. 2022 Peter Eliaš – O tenzorovom súčine
Abstrakt: Porovnáme konštrukcie tenzorového súčinu v kategórii vektorových priestorov, kde morfizmy sú lineárne zobrazenia, a v kategórii úplných zväzov, kde morfizmy sú zobrazenia zachovávajúce supremá. Tenzorový súčin vektorových priestorov $V$, $W$ je vektorový priestor $T=V\otimes W$ spolu so zobrazením $\otimes\colon V\times W\to T$, ktoré má univerzálnu vlastnosť vzhľadom ku všetkým bilineárnym zobrazeniam z kartézskeho súčinu $V\times W$ do ľubovoľného vektorového priestoru $U$. Tenzorový súčin úplných zväzov $K$, $L$ (v kategórii kde morfizmy sú zobrazenia zachovávajúce supremá) je zväz $G$ všetkých Galoisových konexií medzi $K$, $L$, spolu s vhodným zobrazením $\varphi\colon K\times L\to G$. Toto zobrazenie má univerzálnu vlastnosť vzhľadom ku všetkým zobrazeniam definovaným na zväze $K\times L$, ktoré zachovávajú supremá separátne v každej premennej.
9. 6. 2022 Michal Hospodár – Operácie na podtriedach regulárnych jazykov a nedeterministická stavová zložitosť
Abstrakt: Študujeme nedeterministickú stavovú zložitosť základných regulárnych operácií na subregulárnych jazykových triedach. Zameriavame sa najmä na triedy kombinačných jazykov, konečne generovaných ľavých ideálov, grupových, hviezdových, kométových, obojstranne kométových, usporiadaných a mocniny separujúcich jazykov a uvažujeme o operáciách prieniku, zjednotenia, zreťazenia, mocniny, Kleeneho hviezdy, zrkladlového obrazu a doplnku. Vo všetkých prípadoch dostaneme presnú zložitosť, s výnimkou doplnku grupových jazykov, kde máme iba exponenciálnu dolnú hranicu. Zložitosť všetkých operácií na kombinačných jazykoch je daná konštantnou funkciou, okrem $k$-tej mocniny, kde je $k+1$. Pre všetky uvažované operácie sú známe horné hranice pre ľavé ideály dosiahnuté konečne generovanými ľavo ideálnymi jazykmi. Nedeterministická stavová zložitosť $k$-tej mocniny, hviezdy a zrkladového obrazu na hviezdových jazykoch je $n$. Vo všetkých zostávajúcich prípadoch je nedeterministická stavová zložitosť všetkých uvažovaných operácií rovnaká ako v regulárnom prípade, aj keď niekedy potrebujeme použiť väčšiu abecedu na opis zodpovedajúcich dosvedčujúcich jazykov.
23. 6. 2022 Emília Halušková – O diskrétnych vlastnostiach niektorých reálnych funkcií
Abstrakt: Monounárne algebry sú najjednoduchšie algebraické štruktúry. Sú definované ako dvojica $(A,f)$, kde $A$ je neprázdna množina a $f$ je zobrazenie z $A$ do $A$. Reprezentujú sa orientovanými grafmi, v ktorých z každého vrcholu vychádza práve jedna hrana. Majú interdisciplinárnu povahu. Budeme to ilustrovať na Sharkovského vete (1964) z teórie dynamických systémov a Łojasiewiczovej vete (1951) z funkcionálnych rovníc.
Ďalej uvedieme klasifikáciu monounárnych algebier definovaných na intervale reálnych čísel so spojitou rýdzomonotónnou funkciou podľa rozkladov na komponenty súvislosti, presnejšie povedané podľa typov navzájom neizomorfných komponentov súvislosti, ktoré sa v týchto algebrách vyskytujú. Monounárne algebry definované na intervale reálnych čísel so spojitou rýdzomonotónnou funkciou obsahujú nanajvýš 4 navzájom neizomorfné komponenty. Ak interval je uzavretý a ohraničený, tak je možných 8 kombinácií týchto komponentov. Pre ostatné intervaly prichádza do úvahy 10 kombinácií. V kritériách hrá úlohu bijektívnosť funkcie, množina pevných bodov funkcie alebo jej druhej iterácie a ohraničenosť funkcie na maximálnej podmnožine definičného oboru, ktorá neobsahuje pevné body funkcie.
8. 9. 2022 Małgorzata Jastrzębska, UPH Siedlce – Zväzy v asociatívnych okruhoch
Abstrakt: The aim of the talk is to present the methods of lattice theory in studying the properties of associative rings. The lattices of ideals, the lattices of one-sided ideals and the lattices of one-sided annihilators will be discussed. I will present the relationships between these lattices and their selected properties. I will also present a few theorems characterizing the properties of rings with the help of mentioned lattices.
22. 9. 2022 Viktor Olejár – Vybrané témy z kvantových konečnostavových automatov
Abstrakt: Kvantové konečnostavové automaty ponúkajú alternatívny matematický model pre skúmanie kvantových systémov s konečnou pamäťou. Mnoho takýchto modelov bolo už navrhnutých s rôznymi výpočtovými vlastnosťami. Moore-Crutchfieldov kvantový konečnostavový automat (MCQFA) patrí k jedným z prvých skúmaných automatov tohto druhu. Vznikol nahradením prechodovej funkcie klasických deterministických konečnostavových automatov unitárnymi operátormi. Napriek tomu, že sú schopné akceptovať iba vlastnú podmnožinu regulárnych jazykov, pre isté úlohy bolo ukázané, že sú úspornejšie čo sa týka stavovej zložitosti oproti deterministickým konečnostavovým automatom. Preskúmame príklady dvoch takýchto úloh: jazyk $\mathtt{MOD}_{p}=\{a^{j} \mid j \equiv 0 \mod p\}$, kde $p$ je prvočíslo a promise problém $\mathtt{EVENODD}^k = (\mathtt{EVENODD}^k_{\text{yes}}, \mathtt{EVENODD}^k_{\text{no}})$ pre dané kladné celé číslo $k$. Taktiež si pripomenieme nedávno zorganizované aktivity týkajúce sa kvantových výpočtov: relevantné zoskupenia, workšopy (prvý a druhý), letné školy, atď.
6. 10. 2022 Galina Jirásková – Viacnásobné zreťazenie a stavová zložitosť
Abstrakt: Popíšeme dosvedčujúce jazyky pre zreťazenie $k$ jazykov nad abecedou veľkosti $k + 1$ použitím významne jednoduchšieho dôkazu, než je v literatúre. Potom použijeme jemne pozmenené Maslovove automaty na získanie dosvedčujúcich jazykov nad $k$-prvkovou abecedou, čo rieši otvorený problém formulovaný Caronom a kol. [2018, Fund. Inform. 160, 255–279]. Dokážeme, že pre $k = 3$ je ternárna abeceda optimálna. Taktiež dostaneme dolné hranice $n_1 - 1 + (1/2^{2k-2})2^{n_2+···+n_k}$ v binárnom a $(1/2^{2k-2})n_1 2^{n_2+···+n_k}$ v ternárnom prípade. Nakoniec ukážeme, že horná hranica pre unárne cyklické jazyky je $n_1n_k/d + n_1 + ··· + n_k - k +1+ d$ kde $n_1 \le···\le n_k$ a $d = \gcd(n_1,...,n_k)$.
20. 10. 2022 Ján Brajerčík (Prešovská univerzita) – Problémy globálnej variačnej geometrie
Abstrakt: V prednáške uvedieme základné pojmy globálnej variačnej geometrie ako sú hladká varieta, fibrovaná varieta, jet, Lagrangián, Eulerove-Lagrangeove rovnice. Rozoberieme prí­klady problémov riešených metódami globálnej variačnej geometrie.
Odkaz: The Lepage Research Institute
3. 11. 2022 Irena Jadlovská – Kanonická reprezentácia diskonjugovaných operátorov
Abstrakt: Pripomenieme klasické výsledky Polyu a Trencha o faktorizácii diskonjugovaných lineárnych operátorov. Je demonštrovaná užitočnosť Trenchovej kanonickej reprezentácie pri štúdiu binomických diferenciálnych rovníc. Uvedieme niekoľko nedávno-získaných súvisiacich výsledkov, zahŕňajúcich explicitné vyjadrenie kanonickej reprezentácie nekanonických diskonjugovaných operátorov n-tého rádu, všeobecné vzťahy medzi riešeniami kanonických a nekanonických dvojčlenných funkcionálnych diferenciálnych rovníc, ako aj rozšírenia kanonickej klasifikačnej schémy možných neoscilatorických riešení z lineárnych diferenciálnych rovníc na diferenciálne rovnice s nelinearitou mocninového typu alebo dynamické rovnice na časových škálach.
24. 11. 2022 Jozef Pócs – Supremum husté podmnožiny agregačných funkcií.
Abstrakt: Agregačné funkcie definované na ohraničenom zväze tvoria vzhľadom na bodové operácie suprema a infima ohraničený zväz. Popíšeme všeobecný spôsob nájdenia supremum hustých podmnožín vo zväzoch funkcií a taktiež diskutujeme otázku minimality týchto množín. Dosiahnuté výsledky sú aplikované na zväz agregačných funkcií a zväz idempotentných agregačných funkcií.
8. 12. 2022 Miroslav Repický – Slalomové kardinálne čísla
Abstrakt: Pre ideály $I$ a $J$ na množine prirodzených čísel $\omega$ označme \begin{align*} &\mathfrak{sl}_e(I,J)= \min\{|S|:S\subseteq{}^\omega I\text{ a } (\forall\varphi\in{}^\omega\omega)(\exists s\in S)\ \{n:\varphi(n)\in s(n)\}\in J^+\},\\ &\mathfrak{sl}_t(I,J)= \min\{|S|:S\subseteq{}^\omega I\text{ a } (\forall\varphi\in{}^\omega\omega)(\exists s\in S)\ \{n:\varphi(n)\in s(n)\}\in J^\text{d}\}, \end{align*} kde $J^+=\mathcal{P}(\omega)\setminus J$ a $J^\text{d}=\{\omega\setminus a:a\in J\}$ (a kde $s$ predstavuje slalom, ktorým funkcia $\varphi$ má alebo nemá prechádzať vzhľadom na $J$). Tieto kardinálne invarianty sú monotónne v jednotlivých parametroch vzhľadom na čiastočné usporiadania ideálov podľa Katětova a Blassa alebo vzhľadom na reverznú modifikáciu tohto usporiadania. V dôsledku toho získame určité obmedzenia možných hodnôt týchto invariantov pre ideály $J$ s Bairovou vlastnosťou.