Ján Haluška:  The Mathematical Theory of Tone Systems.  Marcel Dekker --  Ister Science, New-York -- Basel -- Bratislava 2004, xxx + 380 pp., ISBN 0-8247-4714-3.
 

Na knihu sa treba pozrieť z viacerých zorných uhlov.  Možno na prvý pohľad sa zdá príliš fragmentárna, viac podnecujúca k otázkam ako dávajúca na ne odpoveď. Toto je aj nie je pravda. Je to asi tak, ako keď človek putuje do kozmu alebo zostupuje do Mariánskej priekopy -- môže ísť len do istej hĺbky. Vidí ďalej  aj komplexnejšie z okna kozmickej lode, ale ísť tam, aby videl do konca, to už nemôže.

Keď sa už len zamyslíme nad titulom knihy z hľadiska diverzifikácie vedy, tento hovorí o mnohom. Ako vieme, matematika sa delila až do cca 14. storočia na štyri odbory: algebru, geometriu, astronómiu a ... hudbu. Pričom v dnešnom ponímaní išlo nie o hudbu ako takú, ale skôr o tónové systémy v zmysle tejto knihy. Prečo sa odčlenila astronómia, to je pochopiteľné. Stala sa samostatnou prírodnou vedou, podobne ako napr. fyzika. K matematike mala vždy a aj dnes má dobrý a dcérsky vzťah. Matematici takisto rešpektujú toto dospelé dieťa, ktoré je dospelé už dávno. Prečo sa však z oficiálnej matematiky a vedy vôbec akosi ticho vytratila štvrtá dcéra, ktorá sa však stále nejakým spôsobom pripomínala? Dalo by sa to povedať asi takto: matematika dosiaľ nemala ani aparát ani koncepciu, čo urobiť so svojou štvrtou dedičnou časťou a to pre jej ,,abnormálnu  komplexnosť " (v porovnaní s inými časťami matematiky ale aj vedy ako celku). A tak ju oficiálna matematika -- matka, nechala svoju dcéru na pospas svojmu osudu počas mnohých storočí. Jednoducho to nezvládla. Macocha a Popoluška? Nie, v  žiadnom prípade. Slabá mamka a jej syn Valibuk. Jeho sila je impozantná. Prekračuje rámec matematiky, prírodných aj spoločenských vied.

Tento štvrtý dedičný predmet matematiky sa vinie ako červená niť matematikou od vzniku matematiky ako vedy (pytagorejská škola) počas celých dejín vedy až podnes. V súčasnosti ho však dôsledne obkračuje väčšina profesionálnych matematikov nie preto, že sú tu nezaujímavé matematické problémy, ale preto, lebo panuje akási verejná matematická mienka, že priznaním sa k tomuto predmetu riskuje matematik--profesionál svoju vedeckú reputáciu. Občas niektorý z nich nevydrží, lebo dosť veľké percento matematikov hrá na nejaký hudobný nástroj, a napíše pekný matematický článok, ale najviac jeden-dva. Vedecké články o tónových systémoch nachádzame vo všetkých odboroch súčasnej matematiky tak, ako sú klasifikované v Mathematical Reviews. Tónové systémy dali podnet ku vzniku celých oblastí matematiky (menujme Fourierovu, resp. Harmonickú analýzu, Parciálne diferenciálne rovnice). Z kľúčových postáv minulosti spomeňme len tie najslávnejšie: Archytas, Avicena, Euler, Fibonacci, Fourier, Helmholtz, Kepler, Mersenne, Petzval, Pólya, Ptolemaios, Pythagoras, Stevin. Zdalo by sa, že stačí pozbierať čriepky, zložiť mozaiku a štvrtá váza sa môže plniť novým obsahom. Nie je to celkom tak, hoci myšlienka je tu. Problém je, ako tie čriepky pospájať (čo je lepom) a do akého tvaru, keďže sa jedná o veľmi heterogénny materiál.

Čo je však problémom, zdanlivo neprekonateľnou nevýhodou, ukázalo sa byť charakteristickou vlastnosťou tohto predmetu. Pre tónové systémy je charakteristická interdisciplinárnosť. Veľmi situáciu zťažujú tzv. popularizačné knihy o tomto predmete, ktoré opakujú dokolečka notoricky známe jednoduché a elementárne fakty. Nováčik môže z toho len usudzovať, že sa jedná o take nič. Pričom ide nielen o interdisciplinárnosť v rámci samotnej matematiky (články zaraďované do algebraických štruktúr, matematickej analýzy, štatistiky, teórie grafov, funkcionálnej a harmonickej analýzy, atď.), ale ak chápeme predmet aplikovane, tak sa jedná o interdisciplinárnosť v rámci rôznych prírodných vied, viet o živote, ale tiež umenia, kozmológie, filozofie, informatiky, teológie, atď. Dá sa vôbec vytvoriť konkrétna jednotná teória takéhoto predmetu neskĺznuc do planého filozofovania, že všetko súvisí so všetkým, čo robia už spomenuté popularizačné knihy? Jedná sa o čertovo kopyto, alebo je to naopak --  sme svedkami prejavu vnútornej harmónie ducha a tela, vnútorného a vonkajšieho, prírodných a humanitných vied, apod.?

Prijal som vnútorne, už dávno -- nezávisle od tejto knihy,  túto druhú východziu pozíciu a postavil sa proti tendencii entropie a chaosu. Na integrovanie toho množstva rôznorodého materiálu do jedného celku  a vytvorenie jednotnej matematickej teórie tónových systémov, na to však bolo treba mať niekoľko kardinálnych myšlienok, či motivácií. No syntéza, zdá sa, sa podarila. Prvá idea je použitie teórie informácie založenej na pojme neurčitosť, informácia sa chápe ako doplnok neurčitosti. Na druhej strane, keď už vytvorili sme teóriu tónových systémov, táto poskytuje výborný skúšobný materiál, je výborným leboratóriom pre skúmanie všetkých druhov neurčitosti. Druhá zásadná motivácia napísať knihu bolo zistenie. Táto teória vyjadruje nielen špeciálnu matematickú dualitu, ale aj duševnú dualitu ,,prírodné vedy <--> umenie'', ktoré má dva smery: ,,prírodné vedy --> umenie'' a ,,prírodné vedy <-- umenie'', ktoré sú navzájom symbiotické a reflektívne. Treťou motiváciou bolo moje osobné presvedčenie, že vývoj v tónových systémoch je najsilnejšou hnacou silou vývoja samotnej hudby a hudobných štýlov. Je to vnútorný (hudobnícky) pohľad na vec, ktorý však nikde nepresadzujem autoritatívne a vždy ho dávam len do polohy možnosti.

V knihe je vyvinutá špeciálna matematická technika, pojem geometrickej siete. Tento pojem zovšeobecňuje tradičný pojem geometrickej postupnosti pre prípad viacerých kvocientov, avšak tak, že geometrické siete sú funkcie definované na zväzoch. Kvôli rozsahu knihy autor systematicky nepopisuje tento pojem sám o sebe z matematického hľadiska, len dôsledne prakticky aplikuje túto techniku v celej knihe. Skúmanie operácií nad geometrickými sieťami, to je otázka, výzva pre základný matematický výskum. Pojem geometrickej siete je blízky pojmu analytickej algebry, ktorý zovšeobecňuje pojem mocninového radu. Všetky príklady v knihe (okolo 3 000) v knihe sa dajú popísať pomocou geometrických sietí.

Vzniká preto otázka, či nedefinovať tónový systém jednoducho ako geometrickú sieť. Spomínam takúto možnosť, no neurobil som tak. Možno v budúcnosti. Podľa mojej mienky, ,,živý, či ,,obyčajný"  tónový systém by mal v nejakom presne definovanom zmysle zohľadňovať nasledovné štyri koncepcie: (1) konštrukčný alebo výberový algoritmus, (2) pojem symetrie, (3) charakteristickú rovnicu, či reláciu, (4) neurčitostnú mieru. Všetky uvedené v knihe systémy majú tieto vlastnosti, ktoré sa prejavujéu úplne rôznorodo. Tieto štyti koncepcie som rozpracoval podrobne pre Petzvalove tónové systémy. Tak som sa  touto knihou prihlásil a zaradil k dôstojnej matematickej tradícii slovenskej matematiky spred 1. svetovej vojny. Tu menujme aspoň J.M. Petzvala, A.Stodolu, ešte staršieho Segnera.

J. M. Petzval, ktorý sa veľmi úspešne zaoberal matematicky tónovými systémami (napísal dva rozsiahle články a jeho žiak L. Erményi vydal posmrtne knihu o Petzvalových tónových systémoch), je matematická hviezda prvej veľkosti, ktorú môžeme postaviť smelo do radu napr. s Pythagorasom, Gaussom alebo Lobačevským. Po J. M. Petzvalovi, dlhoročnom členovi Viedenskej Cisárskej Akadémie Vied, je pomenovaný kráter na Mesiaci, Laplaceova transformácia by sa mala nazývať podľa jej tvorcu a objaviteľa Petzvalovou. Petzval je známy ako jemný mechanik, optik, atď., skrátka --  polyhistor. Určite by stálo za to vydať už len z vlasteneckých pohnútok súborné dielo tohto Slováka -- velikána vedy.

Kniha je rozčlenená na dve, resp. tri časti. Prvá časť (Základy) opisuje stĺpové východiská integrujúcej teórie (teória neurčitosi založená na neurčitosti, fuzzy teória a sonancia, wavelety a nešpecifikácia, granulácia výšky tónov a nejednoznačnosť). Druhá časť (Špeciálne systémy) opisuje konkrétne triedy, do ktorých sa tónové systémy tradične zaraďujú (rovnomerné temperatúry, strednotóny, dobré temperatúry, 10 a 12 stupňová granulácia, ptolemaiovský systém). Všímam si tak tzv. moderné systémy (napr. adaptívne systémy a iné), ako aj tradičné, známe v literatúre. Uvedomme si fakt, že zbierať takéto systémy z literatúry minulých storočí je preťažká úloha, ktorej sa autor zrejme zhostil vďaka svojmu učitelovi hry na organe, zosnulému  Karolovi Wurmovi, známemu priekopníkovi slovenskej organológie a záchrancovi mnohých historických organov na Slovensku z čias komunizmu. On ma zapálil pre vec a odkázal mu niektorú nedostupnú literatúru aj kontakty. Tretia časť, dodatky knihy, sa skladá z dvoch časti. Časť (A) je zbierka tónových systémov, ktorá obsahuje stovky položiek, je štrukturalizovaná podľa kardinality tónového systému v rámci oktávovej periódy. Časť (B) predstavuje katalóg historických organov s rozdelenými poltónmi z obdobia 1468 -- 1721, ktorého autorom je švédsko-nemecký organológ a konštruktér organov Ibo Ortgies z Goeteborgskej Univerzity. Ďalším menovaným prispievateĺom je Anna Romanowska, profesionálna algebraistka a zároveň huslistka z Warszawy, autorka viacerých kníh z matematiky a článkov o tónových systémoch. Napísala časť kapitoly o rovnomerných temperatúrach.

Dá sa povedať, že kniha je priekopnícka so všetkými plusmi ale aj mínusmi. Vydavateľstvo Marcel Dekker určite počíta s tým, že dielo osloví veľké percento matematikov ale možno aj profesionálnych výrobcov elektronických nástrojov a skladateľov modernej hudby, u ktorých sa predpokladá dostatočný matematický tréning, aby dokázali knihu prečítať.  Knihu vytlačil EDIS -- Vydavateľstvo Žilinskej Univerzity, náklad je 600 kusov pre anglický trh a 50 pre česko-slovenký trh. Rozdiel je v cene. Kniha vyšla v sérii Pure and Applied Mathematics, A Dekker Series of Monographs and Textbooks.

Na obálke okrem povinných náležitostí sú dve čiernobiele reprodukcie (autorom fotografií je žilinský fotograf. M. Pfliegel)  z kolekcie malieb na dreve z ampory balustrády artikulárneho kostola z Paludze z r. 1693, ktorý bol v 60-tych rokoch minulého stiročia premiestnený do Sv. Kríža z dôvodu stavby vodnej priehrady Liptovská Mara, najväčšieho celodreveného kostola na svete (kapacita viac ako 6 000 miest an sedenie), nášho slovenského Pantheóna. Sú to maľby kráľa Dávida a pastiera.  Kráľ Dávid v hermelíne hrá na harfe a predstavuje celistvosť, vznešenosť, komunikáciu s Bohom, duševný svet. Neznámy menom pastier hrá na trúbke, je otočený proti kráľovi, predstavuje ľudskosť, výraz emócií -- duše, jednotlivca, remeselnosť (hra z nôt), jednotlivosť.

Každá aplikovaná matematika je interdisciplinárna. Tónové systémy je však nemožné  zahrnúť len do aplikovanej matematiky.  Určite patria tiež do základného výskumu, pretože sú príliš univerzálne, príliš transcendentné (vo filozofickom zmysle slova, teda kvalitatívne), neobmedzujé sa len na hudbu (v dnešnom ponímaní), z druhej strany, sú to čisto matematický predmet. Táto publikácia je súčasťou nového trendu v matematike -- syntetickej matematiky.