Seminár z forcingu

2009

17. 2. 2009

  1. Gödelova veta o úplnosti – dve verzie:
  2. definícia modelu a pravdivosti formúl v modeli (GJ, kap. 1.3, najmä str. 46–57)
  3. diskusia o metamatematike

24. 2. 2009

  1. dôkaz Gödelovej vety o úplnosti (GJ, kap. 2.2)
  2. diskusia o vzťahu Gödelových viet o úplnosti a neúplnosti

3. 3. 2009

  1. dôkaz Gödelových viet o neúplnosti (GJ, kap. 4.7)
  2. princíp reflexie – náčrt dôkazu (J, str. 168–170)

10. 3. 2009

  1. Gödelova-Bernaysova axiomatizácia teórie množín (pozri tu)
  2. diskusia o definovaní nových konštánt, funkčných a relačných symbolov

17. 3. 2009

  1. axiómy GB – dokončenie
  2. vzťah modelov ZF a GB

24. 3. 2009

  1. axióma regularity a kumulatívna hierarchia (G, kap. 3; J, str. 63–65 a 165–166)
  2. absolútnosť (G, kap. 3; J, str. 163–165)

31. 3. 2009

  1. diskusia o implikáciách typu Con(ZF) ⇒ Con(ZF)
  2. pre ľubovoľný konečný fragment ZF existuje jeho spočítateľný tranzitívny model (G, kap. 4)
  3. diskusia: vieme dokázať Con(ZFC) ⇒ Con(ZFC + „existuje spočítateľný tranzitívny model ZFC“)?

7. 4. 2009

  1. indukcia a rekurzia cez fundovanú reláciu
  2. diskusia: čo znamená, že definícia je absolútna? Ako ukázať absolútnosť ranku?

21. 4. 2009

  1. Δ1-formuly sú absolútne nad tranzitívnymi modelmi (J, str. 184–186)
  2. generické rozšírenie (G, 6.1–6.13)

28. 4. 2009

  1. formulácia „v generickom rozšírení platí φ“ znamená „existuje ZF* (konečný fragment ZF) taký, že ak M je tranzitívny model ZF* a G ⊆ P je M-generický filter, tak M[G] ⊨ φ
  2. v generickom rozšírení platia axiómy dvojice, sumy, extenzionality a regularity
  3. pre každú formulu φ(x1, … , xn) definujeme reláciu (medzi p ∈ P a x1, … , xn ∈ M):
    p ⊩ φ(x1, … , xn) ak pre každý generický filter G obsahujúci p platí M[G] ⊨ φ(valG(x1), … , valG(xn))
  4. relácia ⊩ sa dá definovať v M:

5. 5. 2009

  1. M[G] ⊨ φ(valG(x1), … , valG(xn)) práve vtedy, keď ∃p ∈ Gp ⊩ φ(x1, … , xn)
  2. vlastnosti relácie ⊩ (J, 14.7, i – ii)
  3. v generickom rozšírení platí axióma vydelenia

12. 5. 2009

  1. v generickom rozšírení platia axiómy nahradenia, potencie a výberu (ak predpokladáme AC v M)
  2. ak nájdeme čiastočné usporiadanie P také, že v generickom rozšírení platí φ, tak φ je relatívne konzistentná so ZF (resp. ZFC), t. j. Con(ZF) ⇒ Con(ZF + φ)

19. 5. 2009

  1. ak v M platí AC, tak p ⊩ ∃x φ ⇔ ∃a ∈ Mp ⊩ φ(a) 
  2. Con(ZFC) ⇒ Con(ZFC + CH)

2010

24. 2. 2010

  1. rekapitulácia
  2. Con(ZFC) ⇒ Con(ZFC + CH)
  3. diskusia: kde bol použitý výber?

3. 3. 2010

  1. veta o fungovaní forcingu
  2. P spĺňa κ-chain condition (κ-c.c.), ak každá množina navzájom nekompatibilných prvkov z P má mohutnosť menšiu než κ
  3. Con(ZFC) ⇒ Con(ZFC + ¬CH) (j, str. 64–65)

10. 3. 2010

  1. P je κ-distributívne, ak prienik κ otvorených hustých množín je je otvorená hustá množina (J, str. 228)
  2. nech P = {f : f je funkcia, dom(f) ∈ [A]<κ, rng(f) ⊆ B}, kde |B| ≤ κ

17. 3. 2010

  1. nech B = RO(P), sat(P) = min {κ : P neobsahuje antireťazec dĺžky κ}
  2. nech P = {f : f je funkcia, dom(f) ∈ [κ × ω]<ω, rng(f) ⊆ {0,1}} (J, str. 225)

23. 3. 2010

  1. nech κ je regulárny kardinál a nech P = {f : f je funkcia, dom(f) ⊆ κ × λ, |dom(f)| < κ a rng(f) ⊆{0,1}}, f ≤ g ⇔ f ⊇ g (J, str. 226–227)
  2. nech M ⊨ GCH, κ je regulárny kardinál, cf(λ) > κ (j, str. 69–70)

30. 3. 2010

  1. nech κ je regulárny kardinál, λ > κ, P = {f : f je funkcia, dom(f) ⊆ κ, |dom(f)| < κ, rng(f) ⊆ λ}, f ≤ g ⇔ f ⊇ g (J, str. 237–238)

7. 4. 2010

  1. súčinový forcing

14. 4. 2010

  1. Eastonova lema: ak M je tranzitívny model ZFC, P je κ+-c.c. v M a Q je κ-closed v M, G × H ⊆ P × Q je M-generický filter a f ∈ M[G][H] je zobrazenie z κ do M, tak f ∈ M[G]

28. 4. 2010

  1. Eastonov forcing – forcing cez vlastnú triedu podmienok

5. 5. 2010

  1. Eastonov forcing – dokončenie

12. 5. 2010

  1. stromy a lineárne usporiadania, Suslinova hypotéza (pozri tu)

19. 5. 2010

  1. Speckerove usporiadania sú práve lexikografické usporiadania Aronszajnových stromov
  2. Suslinova priamka existuje práve vtedy, keď existuje Suslinov strom

[G]  Geschke S., Models of Set Theory, lecture notes, available online at http://math.boisestate.edu/~geschke/Math580/ModelsSetTheory.pdf
[GJ]  Goldstern M., Judah H., Incompleteness Phenomenon. A new course in mathematical logic, AK Peters, 1995
[j]  Jech T., Lectures in Set Theory, with Particular Emphasis on the Method of Forcing, Lecture Notes in Mathematics, vol. 217, Springer, 1971
[J]  Jech T., Set Theory. The Third Millennium Edition, Springer, 2006

 

Materiály k semináru z forcingu

Prednášky

  1. Stefan Geschke – Models of Set Theory, učebný text k prednáškam na Boise State University.   PDF

  2. Lajos Soukup – cyklus prednášok na Winter School on Abstract Analysis, Hejnice, 2009.

  3. Stephen Jackson – Topics in Logic and Foundations, učebný text k prednáškam na University of North Texas.   PDF
    (originál dostupný na http://www.math.unt.edu/~sjackson/6010f02/math_6010_fall_2002.htm)

Články

  1. Chow T., A beginner’s guide to forcing, in: Communicating Mathematics, Contemp. Math. 479 (2009), 25–40.   PDF
  2. Jech T., On Gödel’s second incompleteness theorem, Proc. Amer. Math. Soc. 121 (1994), 311–313.   PDF

Wikipedia

  Gödelova veta o úplnosti
  Gödelove vety o neúplnosti
  Zermelova-Fraenkelova teória množín
  von Neumannova-Bernaysova-Gödelova teória množín
  Forcing
  Boolovský model

Knihy

  rôzne knihy

Fonty

  font DejaVu pre správne zobrazenie matematických symbolov v MS Windows

  Návod na inštaláciu vo Windows XP:

  1. rozbaľte archív
  2. otvorte ovládací panel a prepnite ho na klasické zobrazenie
  3. otvorte položku Písmo
  4. v menu Súbor zvoľte Nainštalovať nové písmo...
  5. prejdite do priečinka s rozbaleným archívom
  6. vyznačte všetky fonty, zaškrtnite Skopírovať písma do priečinka písiem a stlačte OK